s
Доцент Морозов Михаил Владимирович: официальный сайт

Михаил Владимирович Морозов:
персональный сайт

А Г Д К Л М П Р С Т У Х Я

Кристаллохимия: Самостоятельная работа 1


Кристаллохимия. Домашнее задание, часть А. Построение графика пространственной группы и правильных систем точек (на примере ромбической сингонии, планаксиальный класс).

Содержание задания:

1. Построить график данной пространственной группы ___ [выдается преподавателем] с обозначением всех элементов симметрии.
2. Нанести на график общую правильную систему точек.
3. Нанести на график частные правильные системы точек.
Замечание: не нужно находить все возможные для данной группы частные правильные системы точек, но следует найти и нанести на чертеж по возможности все различные типы правильных систем точек для этой группы, отличающиеся по симметрии позиции (т.е. по точечной группе: позиции с симметрией m.., .m. и ..m относятся к одной точечной группе - m, поэтому для чертежа можно выбрать любую одну из них).
4. Для каждой найденной правильной системы точек (общей и частных) определить их важнейшие характеристики: кратность, симметрию позиции, число степеней свободы, формулы размножения.

Советы по выполнению домашнего задания:

Методические указания - В.В.Доливо-Добровольский, 1992: СКАЧАТЬ ФАЙЛ PDF (11.7 Mb). Внимание: некоторые обозначения устарели, смотрите ЛЕКЦИИ.

ПРИМЕРЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ШАГОВ ПО ЧЕРТЕЖУ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГРУППЫ для класса mmm:

п. гр. Pnma - лекция 4 - подробно показан каждый шаг по добавлению элементов симметрии

п гр. Pmna - лекция 5 - кроме пошагового добавления элементов показано пошаговое добавление точки (для разных правильных систем точек) и размножение этой точки

Поскольку мы работаем с ромбической сингонией, у нас нет осей симметричности выше, чем оси второго порядка. Поэтому размножение элементов сисмметрии простое:

  • плоскость и плоскость дают ось второго порядка,
  • ось и плоскость дают центр инверсии,
  • "внутри" оси второго порядка никаких дополнительных осей НЕ содежится (потому что ось может содержать в себе только младшую возможную ось - внутри 4 и 6 может содержаться 2 т.к. 90+90=180, 60+60+60=180, но не наоборот).

Поэтому общее количество элементов симметрии такое же, как и в соответствующей точечной группе.

Для удобства и самопроверки научимся переходить между ТОЧЕЧНОЙ группой и ПРОСТРАНСТВЕННОЙ группой. Для этого из обозначения п.гр. нужно удалить все трансляции (например: из Fbcm получаем mmm). Представим группу mmm в "явном" написании 3L23PC и увидим что у нас должно быть 7 элементов: три плоскости, три оси и центр.

УЧТИТЕ: в структуре кристалла (при чертеже пространственной группы) какие-то (или все) из этих плоскостей могут (но не обязаны!) стать плоскостями скользящего отражения (они в явном виде перечислены в обозначении пространственной группы, например, Pnma), а оси второго порядка (все или некоторые) могут стать винтовыми (их вы должны найти самостоятельно).


ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ:

Плоскости симметрии наносим сразу, ведь они указаны в обозначении п.гр. Единственные элементы симметрии, которые могут добавить нам плоскостей, - это трансляции. Они указаны в обозначении ячейки Браве. Три базовые трансляции есть всегда, значит все три системы плоскостей размножатся по теореме 1. Но, если ячейка не P (не примитивная) она содержит дополнительные трансляции по диагонали на пол-ячейки (это может быть диагональ грани э.я. или объемная диагональ э.я.). И тогда на "четвертинках" э.я. появятся плоскости, перемежающиеся с основной и наследующие трансляции от обоих материнских элементов симметрии. ПРИМЕР для C-ячейки: лекция 4, раздел "Взаимодействие плоскости с диагональной трансляцией".

Теперь получаем оси симметрии второго порядка как дочерние от двух плоскостей. Если материнские плоскости содержат трансляции, то суммируем трансляции перпендикулярные и параллельные оси. Они перейдут к этой оси "по наследству", причем перпендикулярные оси трансляции сложатся друуг с другом и сдвинут ось, а параллельные ей - тоже сложатся и могут сделать ось винтовой.

Центр инверсии является дочерним от оси четного (здесь - второго) порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии и находится в том месте, куда его сдвинут от точки пересечения оси материнские трансляции. Любая пара "ось+плоскость" даст один и тот же центр инверсии! Поэтому выбираем для его нахождения наиболее простую пару, т.е., по возможности, без трансляций.

ОБОЗНАЧЕНИЕ и РАЗМНОЖЕНИЕ точек разных ПСТ

На чертеже пространственной группы найдем НЕЭКВИВАЛЕНТНЫЕ точки, т.е. такие, которые имеют разную симметрию позиции. Какие у нас варианты:

а) Точка лежит "на пустом месте", т.е. вне всех элементов симметрии (и по оси z у нее тоже координата "неконкретная", т,е. на чертеже "+", а в записи "+z"). Это точка общего положения (общей ПСТ = ОПСТ). Точка ОПСТ размножается КАЖДЫМ элементом симметрии в новое место (ну и, само собой, размножается любой трансляцией - базовой или дополнительной, но трансляции размножают вообще любую точку).

Обозначаем эту точку кружком, ставим у него номер 1 и размножаем ее, применяя к точке 1 по очереди ВСЕ элементы симметрии. После действия элемента симметрии получаем новую точку этой ПСТ, ставим кружок и очередную цифру. Записываем формулу размножения. Итоговое чилсо точек этой ПСТ - это ее кратность. Число степеней свободы и симметрия позиции одинаковая, конечно, у всех точек, входящих в данную ПСТ.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: если точка лежит прямо на элементе симметрии, который содержит трансляции (т.е. на любой плоскости скользящего отражения или винтовой оси), она также является точкой ОБЩЕЙ ПСТ. Потому, что после действия этого элемента симметриии, точка обязательно "съедет" в сторону, даже если останется лежать на этом элементе. Такие ОПСТ можно не обозначать - их параметры будут такими же, как и у первой ОПСТ (собственно, совпадение параметров и есть доказательство того, что они не частные, а общие ПСТ).

б) Теперь по очереди ставим точку на каждый из вертикальных И горизонтальных элементов симметрии, если он НЕ содержит трансляций. Какие варианты: ось второго порядка 2, зеркальная плоскость отражения m, пересечение 2/m и отдельно стоящий центр инверсии -1. Каждую точку обозначаем своей фигуркой (квадрат, ромб, треугольник вершиной вверх, треугольник вершиной вниз) и размножаем ее. Это частные ПСТ (ЧПСТ).

НЕ ЗАБЫВАЕМ горизонтальные элементы симметрии, смотрим на их высоту (координата z).

Если есть два полностью аналогичных элемента симметрии, можем выбрать только один, т.к. симметрия позиции в данном случае будет соответствуовать одинаковой точечной группе. В этом случае ВСЕ параметры ПСТ будут совпадать, кроме конкретной ориентировки элемента симметрии в пространстве. Например, в п.гр. Pmmm у нас есть три аналогичных элемента симметрии - плоскости с нормалями, параллельными осям x, y и z, соответственно: первая (m..), вторая (.m.) и третья (..m). Точечки показывают положение нормали к плоскости, относительно координатных осей. Точечная группа для каждой из соответствующих ЧПСТ одна и та же - m, поэтому для домашнего задания из данных трех ЧПСТ можно выбрать только одну (ведь все формальные параметры - число степеней свободы, кратность, будут для данной точечной группы симметрии позиции совпадать).

Итого, у вас получится одна ОПСТ (точка на пустом месте) и несколько ЧПСТ (от трех до четырех). Не забываем привести табличку с параметрами каждой ПСТ и координатами ее точек в стиле (x, y, z).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОДСКАЗКА (для тех, кто не боится математики координат)

Ось второго порядка, действуя на точку, меняет у нее две координаты на противоположные (т.е. "с минусом"), оставляя одну координату (координату своего направления) нетронутой. Например, работа 2z (..2) может быть обозначена как (-1,-1,1).

Плоскость симметрии меняет одну координату (координату направления своей нормали), оставляя остальные две нетронутыми. Для mz (..m): (1,1,-1).

Центр инверсии меняет все три координаты, его действие: (-1,-1,-1).

Если плоскость или ось содержат трансляции, то они, помимо указанных изменений, еще и добавляют свою трансляции в каждую соответствующую координату точки. Например, плоскость a добавляет к иксу 1/2, ничего не добавляя к y и z. Таким образом, действие az (..a) выглядит как:

(x,y,z) x (1,1,-1) + (1/2,0,0) = (x+1/2,y,-z)

здесь синий множитель - это отражение в плоскости, а синее слагаемое - трансляция

Если плоскость (ось) смещены относительно (0,0,0), то они добавляют к координате отражаемой точки трансляцию по соответствующей координате, равную удвоенному смещению плоскости (оси).

 

Энциклопедия
Найти