s
Доцент Морозов Михаил Владимирович: официальный сайт

Михаил Владимирович Морозов:
персональный сайт

А Г Д К Л М П Р С Т У Х Я

Мат.модели (консультация 1): Среднее геометрическое


Курс "Математические методы моделирования в геологии"

Занятие 1. Статистическое распределение [здесь теоретическое введение и объяснение терминов]
Занятие 2. Проверка гипотезы о нормальном распределении [здесь методическое описание действий]
Занятие 3. Знакомство с программой STATISTICA [советы по началу работы]

В геохимии мы стараемся иметь дело с нормальным распределением: в ворохе геохимических случайностей оно возникает естественным образом, оно симметрично и его моду легко найти. Мода нормального распределения соответствует медиане (т.е. середине выборки), а также - среднему арифметическому значению - потому что вероятность отклонения влево равна вероятности отклонения вправо.

 

Среднее арифметическое значение содержания (концентрации) химического элемента в породе обозначается прямой чертой над символом:

Формула среднего арифметического всем знакома:

Среднее геометрическое обозначается значком волны ("тильда") над символом и равна корню степени n из произведения n измеренных значений. Иными словами, сложение заменили на умножение, а деление - на извлечение корня. Формула понятна, но зачем она нужна?

Дело в том, что содержание элемента в геохимии чаще соответствует не нормальному, а логнормальному распределению. Нам нужно определить его моду (красная линия), но знакомые способы оценки моды - медиана (зеленая линия) и среднее арифметическое значение (фиолетовая) в этом случае не справляются с задачей.

Выход один: если взять вместо содержаний их логарифмы, то распределение станет нормальным, симметричным. Среднее арифметическое логарифмов значений обозначим так:

Вместо концентраций в нем используются десятичные логарифмы концентраций. Почему не натуральные? Чтобы значение логарифма соответствовало десятичному разряду величины (1 - десятки, 2 - сотни, 3 - тысячи), по десятичным логарифмам легко прикидывать значения самих концентраций в уме. Вот мы и нашли моду логнормального распределения:

Но знать среднее по логарифмам недостаточно: нам нужно выразить моду в единицах содержания (проценты, граммы на тонну), чтобы сравнивать ее с результатами химических анализов. За этим нам необходимо взять антилогарифм найденной величины: это и есть мода распределения, если ось абсцисс - содержания.

А теперь раскроем значение среднего:

Перезапишем: дробная степень 1/n - это корень n-й степени:

Перезапишем: сумма степеней - это произведение оснований в степени каждого слагаемого:

Перезапишем: основание в степени логарифма по этому же основанию есть аргумент логарифма:

Итог: мы получили, что искомый антилогарифм от среднего арифметического логарифмов содержаний равен среднему геометрическому содержаний:

Именно поэтому среднее геометрическое так важно: это мода логнормального распределения, выраженная в исходных единицах, т.е. в тех, с которыми имеют дело геохимики.

И напоследок для любопытных. Откуда такое название - среднее геометрическое? Дело в том, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу (а каждый катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу).

То же в виде формулы:

Вот и все!. Возвращаемся к нашим на тонну граммам.

 





Опубликовать в своем блоге livejournal.com
Энциклопедия
Найти

Голос Севастополя

Сайт Сделано у нас

Элементы       Все о Геологии

Перископ ГК Теллур
РМО Бродячая Камера