s
Доцент Морозов Михаил Владимирович: официальный сайт

Михаил Владимирович Морозов:
персональный сайт

А Г Д К Л М П Р С Т У Х Я

Кристаллография - занятие 3


Зададимся вопросом: все ли операции (и, соответственно, элементы) симметрии мы знаем?

Операции симметрии - это действия в пространстве. Каждая из них меняет местами какие-то направления пространства (см. занятие 1), а направлений у пространства только три - x, y и z. Поэтому принципиальными операциями могут быть только такие:

а) было (x, y, z) -> стало (-x, -y, -z) - это отражение в точке C;

б) было (x, y, z) -> стало (-x, -y, z) - это отражение осью поворота L2 (сюда же можно добавить оси с другими углами поворота, они будут отличаться тем, что x и y будут не заменяться на противоположность, а как бы комбинироваться);

в) было (x, y, z) -> стало (-x, y, z) - это отражение в плоскости P;

г) было (x, y, z) -> осталось (x, y, z). Сия дзен-буддистская операция есть "ничего-не-делание" N. Однако мы должны ее формально иметь в виду, чтобы знать, что последовательное применение операций симметрии вернуло все точки фигуры в исходное положение. Мы уже видели, что C × P = L2. А если мы дважды отразим точку в одной и той же плоскости ("туда", а затем "обратно"), то результат будет соответствовать этому "ничего-не-деланию". Обратное действие обозначим знаком "минус первой степени" и запишем: P × P-1 = N. Аналогично C × C-1 = N. Чтобы не вводить новых значков, "нчего-не-делание" можно обозначить как ось первого порядка (поворот на 360 градусов) L1 - ведь она приводит все точки фигуры в исходное положение. Пишем: P × P-1 = L1, C × C-1 = L1.

[Примечание для шибко умных. Поскольку через любую фигуру можно провести ось L1 произвольным образом, то формально можно заявить, что любая фигура обладает не одной, а бесконечным числом осей L1. Но для нас важно, что по действию на фигуру эти оси первого порядка не отличимы друг от друга, значит, можно считать, что это одна и та же ось, т.е. количество L1 равно 1.]

Нам ясно, что операция симметрии должна заменять направление (или координату точки) в пространстве. Но зададим вопрос: почему она обязана быть односложной? Давайте придумаем операции симметрии, которые будут состоять из совместного выполнения двух действий, т.е. будут "двухшаговыми". Применим отражение в центре инверсии дважды подряд. Это ничего не даст - итогом станет N, или L1. Двойное отражение в плоскости, как мы видели, тоже ничего не даст. Отражение в C и сразу в P дает L2 и т.п. Мы зря перебираем комбинации? Нет. Давайте за один "ход" операции симметрии делать поворот на 90 градусов и отражение в центре тяжести фигуры.

Для начала рассмотрим обычный поворот на 90° - вертикальную ось L4. Исходное положение: точка вверху-спереди-справа. Поворот 1 (90°): точка вверху-спереди-слева. Поворот 2 (180°): точка вверху-сзади-слева. Поворот 3 (270°): точка вверху-сзади-справа. Поворот 4 (360°): вверху-спереди-справа - мы вернулись в исходное положение.

Теперь рассмотрим "двухшаговую" операцию симметрии вида "90° и отражение в центре". Исходное положение: точка расположена вверху-спереди-справа. Операция 1: шаг 1 = поворот 90° -> точка вверху-спереди-слева (но это промежуточное положение, мы еще не завершили операцию симметрии), шаг 2 = отражение -> точка внизу-сзади-справа. Посмотрим на старт и финиш после первой операции: переход между ними не сводится ко знакомым нам ранее операциям симметрии! Едем дальше. Операция 2: шаг 1 = поворот 90° -> точка внизу-спереди-справа, шаг 2 = отражение -> точка вверху-сзади-слева. Операция 3: шаг 1 = поворот 90° -> точка вверху-сзади-справа, шаг 2 = отражение -> точка внизу-спереди-слева. Операция 4: шаг 1 = поворот 90° -> точка внизу-сзади-слева, шаг 2 = отражение -> точка вверху-спереди-справа - мы вернулись в исходное положение! То есть, наша оригинальная ось вращала точку так же, как и обычная ось четвертого порядка, но дополнительно к повороту точка прыгала каждый раз на "обратную сторону" фигуры, т.е. инвертировалась. Такую сложную "двухшаговую" ось вращения называют инверсионной. На данном примере мы описали действие инверсионной оси симметрии четвертого порядка Li4.

Можно ли придумать другие инверсионные оси? Для этого нужно брать разные углы поворота и пошагово изучать действие таких осей. Если мы это сделаем, то обнаружим, что ось Li1 равна центру инверсии, ось Li2 (мы уже проверили) равна перпендикулярной ей P. Эти оси не имеют самостоятельного значения, и мы можем о них забыть. Ось Li3 = L3C (т.е. эквивалентна наличию в формуле обычной тройной поворотной оси и центра инверсии). Описывая симметрию многогранников, ее тоже брать в расчет не обязательно. Но вот Li4, как мы уже видели, не сводится ни к одной из знакомых нам операций симметрии. Если мы еще раз взглянем нам четыре последовательных положения точки, которая отражается осью Li4, то можем заметить что положения "через одно" (первое и третье, второе и четвертое) соответствуют друг другу, как отражения осью второго порядка (1: вверху-спереди-справа, 3: вверху-сзади-слева). Т.е. Li4 как бы содержит в себе L2. Но Li4 не может быть замещена осью второго порядка, т.к. она размножает точку в четыре независимых положения, а ось L2, - только в два. Значит, Li4 - новый независимый элемент симметрии.

Так же новым элементом симметрии является инверсионная ось шестого порядка Li6. Ее выявить даже проще, поскольку Li6=L3P (ось и плоскость должны быть перпендикулярны). Т.е. если мы видим в формуле L3P, то вместо них должны записать Li6. Пример: вместо формулы L33L24P пишем Li63L23P. Переписать формулу нужно, т.к. шестерной повтор не сводится в тройному (что особенно явно проявляется при анализе атомной структуры кристалла, его элементарной ячейки и др.). Формальное равенство Li6=L3P не должно восприниматься как разрешение использовать оба варианта написания полной формулы симметрии.

Всего, таким образом, существуют две независимые инверсионные оси - Li4 и Li6. На этом список элементов симметрии кристаллических многогранников завершен.

Мы познакомились со случаями, когда операция симметрии, будучи единственной, или являясь произведением двух других, не вписывается в знакомые нам типы отражений в зеркальной плоскости, центре инверсии и поворотной оси. Такие операции симметрии обозначаются в виде сложных ("двухшаговых") осей симметрии. В кристаллографии многогранников используют инверсионно-поворотные (или просто "инверсионные") оси. Однако мы могли бы вместо сочетания "поворот + инверсия" взять сочетание "поворот + зеркальное отражение". В этом случае мы бы тоже получили сложные оси, но уже другого типа, они называются зеркально-поворотными. Для полного описания симметрии достаточно выбрать один из двух видов "двухшаговых" осей. В стереохимии, спектроскопии и атомной физике принято использовать зеркально-поворотные оси, в кристаллографии - инверсионно-поворотные.

Зная все возможные элементы симметрии, мы можем теперь навести порядок среди тридцати двух формул симметрии, чтобы легче ориентироваться в их разнообразии и делать некоторые полезные выводы о свойствах кристаллов. Об этом поговорим на следующем занятии.

Навигация: перейти на страницу кристаллографии.





Опубликовать в своем блоге livejournal.com
Энциклопедия
Найти

Голос Севастополя

Сайт Сделано у нас

Благотворительный фонд АдВита. Сбор пожертвований на лечение онкологических больных

Элементы       Все о Геологии

Перископ ГК Теллур
РМО Бродячая Камера