s
Доцент Морозов Михаил Владимирович: официальный сайт

Михаил Владимирович Морозов:
персональный сайт

А Г Д К Л М П Р С Т У Х Я

Кристаллография - занятие 2


Продолжаем обзор элементов симметрии кристаллических многогранников. Известно, что существует всего 32 комбинации этих элементов симметрии. При том, что разных элементов симметрии мы знаем уже шесть (L6, L4, L3, L2, P и C), такое малое количество возможных формул выглядит странным. Причина лежит во взаимодействии операций симметрии.

Теория операций симметрии гласит, что при наличии двух операций (сиречь элементов) симметрии всегда существует третья, которая является своего рода их "произведением", т.е. действует так же, как последовательное применение первых двух операций. Иными словами, если многогранник имеет два элемента симметрии А и Б, то он обладает и неким третьим В, таким, что точка, отражаясь в В, попадает туда же, куда она приходит, последовательно отражаясь элементами А и Б. Это можно записать как А × Б = В.

Рассмотрим пример. Пусть фигура обладает центром инверсии C и горизонтальной плоскостью симмметрии P. Наличие C говорит о том, что каждая точка отражается на аналогичную точку с обратной стороны фигуры, подобно тому, как Северный полюс Земли находит с обратной стороны планеты аналогичное место - Южный полюс. Наличие горизонтальной P говорит о том, что верхняя часть фигуры соответствует нижней, подобно фигуристу и его отражению на льду катка. Т.е. под каждой точкой имеется соответствующая ей аналогичная точка.

Проследим последовательное действие центра инверсии и плоскости симметрии (порядок действий не важен). Пусть точка фигуры находится спереди-вверху-справа. Отразим ее в C - она попадет в точку сзади-внизу-слева. Теперь полученную точку отразим в горизонтальной P. Она попадет в точку сзади-вверху-слева. Итог нашей работы таков: верхнее положение точки не поменялось, а место спереди-справа заменилось на сзади-слева. Такое действие равносильно представлению, что посередине между начальной и конечной точками проходит воображаемая вертикальная ось поворота, вращая фигуру вокруг которой, мы переводим начальную точку в конечную, описав дугу в 180 градусов. Иными словами весь набор из двух последовательных отражений сводится к работе обычной оси второго порядка. То есть C × P = L2 (которая проходит перпендикулярно P).

Мы продемонстрировали, что действительно произведение двух операций симметрии равно третьей, самостоятельной операции. В данном примере мы видим, что третья операция соответствует уже знакомому элементу симметрии - оси второго порядка.

Подведем итог: при наличии у фигуры P и C мы неизбежно обнаруживаем у нее L2. Но, если мы примем, что у фигуры есть L2 и C, то аналогично придем к наличию P, перпендикулярной оси. Если же мы выберем, что у фигуры имеются L2 и перпендикулярная ей P, то найдем у фигуры центр инверсии C. Проводя наши опыты, мы обнаружили, что полная симметрия многогранника не может иметь вид L2P,  а также L2C и PC. Возможной получается только формула L2PC. Подобным образом можно обнаружить, что и другие произвольные наборы элементов симметрии не образуют полные формулы симметрии. Кроме того, разумеется, есть невозможные сочетания элементов симметрии. Например, совместить в одной фигуре оси шестого и четвертого порядков не получится никак. Это и есть причины того, что формул симметрии кристаллов всего тридцать две.

Практические выводы о взаимодействия элементов симметрии можно обобщить в виде небольшой таблицы:

если у фигуры есть... то у нее обязательно будет... словами:

La и Lb (т.е. любые две оси симметрии)

еще одна L, которая проходит через точку пересечения La и Lb и ⊥ плоскости (LaLb)

две оси всегда создают третью
P и P L, проходящая по линии пересечения плоскостей две плоскости всегда создают ось
Ln и || ей P n || ей P если вдоль оси n-го порядка идет плоскость, то всего идуших вдоль этой оси плоскостей будет ровно n
Ln и ⊥ ей L2n (четная ось) n ⊥ ей L2n если перпендикулярно оси n-го порядка идет четная ось, то всего оси Ln будет перпендикулярно n четных осей

C и P

С и L2n

L2n и ⊥ ей P

⊥ плоскости L2n

⊥ оси P

C

центр, плоскость и перпендикулярная ей четная ось образуют стабильный набор, никакие два его элемента не могут быть без третьего

Учитывая эти правила, мы можем вывести недостающие элементы симметрии из уже найденных. Значит, мы можем составить полный список операций симметрии.

Навигация: перейти на страницу кристаллографии.





Опубликовать в своем блоге livejournal.com


Error. Page cannot be displayed. Please contact your service provider for more details. (18)






Энциклопедия
Найти

Голос Севастополя

Сайт Сделано у нас

Благотворительный фонд АдВита. Сбор пожертвований на лечение онкологических больных

Элементы       Все о Геологии

Перископ ГК Теллур
РМО Бродячая Камера